计算机数据表示

进制与转换

这里主要关注二进制和十六进制。二进制符号为0b，一般表示为0b0011，十六进制符号为0x或H，可表示为0x18F或18FH。(十六进制可表示0-15，其中10-15用A-F来表示)。

R 进制整数转十进制采用位权展开法，用 R 进制数的每一位乘以 R 的 n 次方。n 是变量，从 R 进制数的整数最低位开始，依次为 0 , 1 , 2 , 3 ... 累加。

十进制整数除以R，记录每次所得余数，若商不为 0，则继续除以 R，直至商为 0，而后将所有余数从下至上记录，排列成从左至右顺序，即为转换后的R进制数。

m 进制转 n 进制类似。先将 m 进制转化为十进制数，再将十进制数转化为 n 进制数，中间需要通过十进制中转，但下面两种进制间可以直接转化：

• 二进制转八进制：每三位二进制数转换为一位八进制数，二进制数位个数不是三的倍数，则在前面补0(原则是数值不变)，如二进制数01101有五位，前面补一个0就有六位，为001101，每三位转换为一位八进制数；
• 二进制转十六进制：每四位二进制数转换为一位十六进制数，二进制数位个数不是四的倍数，则在前面补0，如二进制数101101有六位，前面补两个0就有八位，为0010 1101，每四位转换为一位十六进制数。

数据表示

机器数：各种数值在计算机中表示的形式，其特点是使用二进制计数制，数的符号用 0 和 1 表示，小数点则隐含，不占位置。

机器数有无符号数和带符号数之分。无符号数表示正数，没有符号位。带符号数最高位为符号位，正数符号位为 0，负数符号位为 1。

定点表示法分为纯小数和纯整数两种，其中小数点不占存储位，而是按照以下约定：

• 纯小数：约定小数点的位置在机器数的最高数值位之前。
• 纯整数：约定小数点的位置在机器数的最低数值位之后。

真值：机器数对应的实际数值。

带符号数有下列编码方式，当真值为 -45 时：

原码：一个数的正常二进制表示，最高位表示符号，数值 0 的源码有两种形式 +0 (00000000) 和 -0 (10000000)。-45 对应原码为10101101；

反码：正数的反码即原码，负数的反码是在原码的基础上，除符号位外，其他各位按位取反。数值 0 的反码也有两种形式 +0 (00000000)、-0(11111111)。-45 对应反码为11010010；

补码：正数的补码即原码，负数的补码是在原码的基础上，除符号位外，其他各位按位取反，而后末位 +1，若有进位则产生进位。因此数值 0 的补码只有一种形式 +0=-0=00000000。-45 对应补码为11010011；

移码：用作浮点运算的阶码，无论正数负数，都是将该原码的补码的首位(符号位)取反得到移码。-45对应移码为 01010011。

浮点数表示方法为 N=F*2^E，其中 E 称为阶码，F 称为尾数。类似于十进制的科学计数法，如 85.125 = 0.85125*10^2，二进制如 101.011=0.101011*2^3.

在浮点数的表示中，阶码为带符号的纯整数，尾数为带符号的纯小数，要注意符号占最高位(正数 0 负数 1)，其表示格式如下:

阶符 阶码 数符 尾数

很明显，与科学计数法类似，一个浮点数的表示方法不是唯一的，浮点数所能表示的数值范围由阶码确定，所表示的数值精度由尾数确定。

尾数的表示采用规格化方法，也即带符号尾数的补码必须为 1.0xxxx(负数)或者 0.1xxxx(正数)，其中 x 可为 0 或 1。

浮点数的运算：

1. 对阶(使两个数的阶码相同，小阶向大阶看齐，较小阶码增加几位，尾数就右移几位)
2. 尾数计算(相加，若是减运算，则加负数)
3. 结果规格化(即尾数表示规格化，带符号尾数转换为 1.0xxxx 或 0.1xxxx)

校验码

码距：就单个编码 A:00 而言，其码距为 1，因为其只需要改变一位就变成另一个编码。在两个编码中，从 A 码到 B 码转换所需要改变的位数称为码距，如 A:00 要转换为 B:11，码距为 2。一般来说，码距越大，越利于纠错和检错。

奇偶校验码：在编码中增加 1 位校验位来使编码中 1 的个数为奇数(奇校验)或者偶数(偶校验)，从而使码距变为 2。奇偶校验只能检 1 位错，并且无法纠错。

CRC 只能检错，不能纠错。使用 CRC 编码，需要先约定一个生成多项式G(x)。生成多项式的最高位和最低位必须是 1。假设原始信息有 m 位，则对应多项式 M(x)。生成校验码思想就是在原始信息位后追加若干校验位，使得追加的信息能被 G(x) 整除。接收方接收到带校验位的信息，然后用 G(x) 整除。余数为 0，则没有错误，反之则发生错误。

海明码本质也是利用奇偶性来检错和纠错的校验方法，构成方法是在数据位之间的确定位置上插入 k 个校验位，通过扩大码距实现检错和纠错。设数据位是 n 位，校验位是 k 位，则 n 和 k 必须满足关系 2^k - 1 >= n + k。