贪心算法与正确性归纳证明

主要思想

贪心算法就是让计算机模拟一个「贪心的人」来做出决策。这个贪心的人是目光短浅的，他每次总是：

• 只做出当前看来最好的选择
• 只看眼前的利益，而不考虑做出选择后对未来造成的影响

并且他一旦做出了选择，就没有办法反悔（不可回溯），所以为了利益最大化，他需要保证绝不能做出错误的选择。

贪心算法不是从整体最优的角度上考虑问题，而是只在意某种意义上的局部最优解。因此，贪心算法并不能保证在所有情况下都能获得最优解。所以在使用贪心算法时，我们需要确保自己能证明最优解的正确性。

贪心性质

可以用贪心算法解决的题目需要满足以下性质：

• 最优子结构：一个问题的最优解包含其子问题的最优解
• 贪心选择性：所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择来到达，即通过贪心选择来达到

证明方法

贪心算法最难的部分从不在于问题的求解，而在于正确性的证明，常用的证明方法有归纳法和交换论证法。

• 归纳法：对算法进行步数归纳或问题规模归纳
• 交换论证法：从最优解出发，在保证最优性不变的前提下，从一个最优解进行逐步替换，从而得到贪心策略的解

因篇幅有限，本篇我们主要说说归纳证明。归纳证明的本质其实就是数学归纳法，我们先来复习下数学归纳法吧。

数学归纳法

数学归纳法（Mathematical Induction）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。

证明步骤

最简单和常见的数学归纳法是证明当 n 等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：

1. 证明当 n = 1 时，命题成立
2. 证明如果在 n = m（m 为任意自然数）时命题成立，那么可以推导出 n = m + 1 时命题也成立

1 为归纳基础，2 为归纳步骤。

原理

该方法的原理在于：一旦我们证明了在某个起点值（例如 n = 1）时命题成立，且证明出从一个值到下一个值的过程有效（即 n = m 到 n = m + 1），那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。即：

P(1)为真，P(1)为真，

且∀n,P(n)为真→P(n+1)为真且∀n,P(n)为真→P(n+1)为真

那么：

n=1,P(1)为真→P(2)为真n=1,P(1)为真→P(2)为真

n=2,P(2)为真→P(3)为真n=2,P(2)为真→P(3)为真

…………

举个例子

如果我们要证明对于任意自然数，都满足：

1+2+…+n=n×(1+n)21+2+…+n=n×(1+n)2

归纳基础

找到起始点，即 n = 1 时，此时等式左侧等于 1，右侧等于：

1×(1+1)2=22=11×(1+1)2=22=1

左右两侧相等，因此在 n = 1 时，命题成立。

归纳步骤

先假设：对于任意自然数 n 命题均成立。

那么，当 n = n + 1 时：

1+2+…+(n+1)1+2+…+(n+1)

=(1+2+…+n)+(n+1)=(1+2+…+n)+(n+1)

=n×(1+n)2+(n+1)=n×(1+n)2+(n+1)

=n×(1+n)2+2×(n+1)2=n×(1+n)2+2×(n+1)2

=(n+1)×(n+2)2=(n+1)×(n+2)2

因此，在 n = n + 1 时，命题也成立。证毕。

算法正确性归纳证明

归纳证明的证明步骤如下：

1. 叙述一个有关自然数 n 的命题，该命题断定贪心策略的执行最终将导致最优解，其中自然数 n 可以代表算法步数或者问题规模。
2. 证明该问题对所有自然数为真

其中，步骤二使用数学归纳法证明，即践行归纳基础与归纳步骤。

下面我们就来看下如何使用归纳法来证明 Kruskal 算法的正确性。

Kruskal 最小生成树

Kruskal 算法是一种常见并且好写的最小生成树算法，由 Kruskal 发明。该算法基于贪心思想，基本思想是从小到大加入边。

主要思想

1. 将图的边按权值大小从小到大依次选取
2. 选取权值最小的边 edge，假设构成该边的两个点为 (point1, point2)，如果 point1 和 point2 已在一个连通图中，则舍弃该边；否则讲该边加入最小生成树中
3. 重复步骤 2，直到构成最小生成树为止

正确性证明

叙述命题

首先，给出命题：对于任意 n，该算法对 n 阶图都能得到一棵最小生成树。

归纳基础

当 n = 2 时，此时只有一条边，命题显然为真。

归纳步骤

假设对于 n 个顶点的图，该算法正确，考虑 n + 1 个定点的图 GG，假设 GG 中最小边权为 e=i,je=i,j。

此时，在图 GG 中连接点 ii 与点 jj，得到图 G′G′。

根据归纳假设，由算法可推出：存在 G′G′ 的最小生成树 T′T′。令 T=T′⋃eT=T′⋃e，则 TT 是关于 GG 的最小生成树。

反证：若 TT 不是 GG 的最小生成树，那么必然存在某包含 ee 边的最小生成树 $T^，使得，使得W(T^) < W(T)（即（即T^*的边权小于的边权小于T$）。

此时，在 $T^中删除中删除e边，可得到G′的最小生成树边，可得到G′的最小生成树T^ - {e}$，且有：

$$
W(T^* - {e}) =

W(T^*) - w(e) <

W(T) - w(e) =

W(T’)
$$

该表达式与 T′T′ 是最优解相互矛盾，所以 TT 必然是 GG 的最小生成树，证毕。

总结

• 贪心算法不是从整体最优的角度上考虑问题，而是只考虑某种意义上的局部最优解，不可回溯，不考虑后果
• 可以用贪心解答的题目需要满足最优子结构与贪心选择性
• 贪心算法并不能保证在所有情况下都能获得最优解，所以在使用贪心算法时需要证明算法的正确性，常见的证明方法有归纳法与交换论证法
• 数学归纳法通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立，证明过程为归纳基础+归纳步骤
• 归纳证明需先给出命题，再用数学归纳法证明该命题对所有自然数为真